代數學(一)

大學階段「代數」的學習重點是抽象代數(Abstract Algebra)。它是一門由公設出發的學科,有點抽象,可是它做的事卻相當具體實在。一旦我們了解稱為群(Groups)、環(Rings)、體(Fields)的代數結構,再加以適當的應用,有很多難題都能迎刃而解,最典型的例子就是證明了只用尺規是不能三等分任意角。 以下就以例子簡單介紹這三種不同的結構。群論的起源可追溯到中世紀致力於解一元多次方程的數學家,他們在成功地解出一元三次、一元四次方程式之後,接著努力追求一元五次或更高次方程式的根式解,但很不幸一直沒有成功。到了十九世紀初,伽羅瓦(Galois)持著不同的看法,懷疑這種根式解的存在性,於是他轉向研究方程和其解的一般性質(抽象化),這些研究導致「群」的結構:包含一個集合,這些集合上的一個二元運算和四種必須滿足的性質(結合性、單位元、反元素)。 這些集合及這個二元運算和起來就是一個群。群的概念證實了伽羅瓦的猜測,即五次或更高次的代數方程的一般根式解法並不存在。群論有很廣泛的應用。例如,十九世紀的挪威數學家Sophus Lie為了研究微分方程的解而發展出李氏群。接著Felix Klein和Elie Cartan用李氏群來研究空間的對稱性質,是幾何學的一大創舉。這些工作在二十世紀的前半期開始大量的被物理學家用來測量宇宙的對稱與曲率,後來楊振寧先生的理論物理工作也用到很多群論。 環則需要一個集合上的兩個二元運算(一「加」一「乘」)來組成,當然還要加上一些條件。整數所形成的集合,以及整數的加法與乘法就是環一個例子。而有理係數多項式所形成的集合,再加上多項式的乘法與加法是環的另一個例子。我們理論上研究環的特性有了成果之後,回頭來看具有環結構的集合及運算,不都具有這些特色嗎。這也是抽象化的基本精神所在。由於同階的方型矩陣配上矩陣的加、乘也具有環的結構。所以以矩陣研究為主的線性代數,也可看成是代數的重要內容。此為環也可用來研究一些數論上的問題。 體的結構比環在強一點,最主要差別在於體滿足乘法的交換性,及非零元素都有乘法反元素。所以前面環的例子中提到的整數就不是一個體。有理數、實數及複數所形成的集合都是體的重要的例子。除了這些無窮元素的體非常有用之外,有限體(Finite Field)也非常重要。如由零和壹所形成的集合,適當的定義加法及乘法,就可以形成兩個元素的有限體。有限體在數位訊息錯誤的糾正理論中扮演非常重要的角色,所以我們能由數位光碟機聽到音樂是「體」的一個應用。

線性代數

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Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra (Ninth Edition), Cengage Learning, 2015 (滄海書局代理), 04-27088787 (書本一定要買,且第一堂課就要有,因為我們要做習題)

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